Cours de génie électrique - Généralités - Spectre et fonction de transfert

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Spectre d'un signal
Introduction
Signaux multipériodiques et apériodiques

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Nous avons déjà défini ce qu'était un signal "harmonique", ou monochromatique, dans le paragraphe 2.3. Un tel signal ne présente qu'une unique fréquence. Mais on peut imaginer un signal présentant deux, trois voire une centaine de fréquences différentes. On pourrait représenter ce signal par son évolution temporelle ; il existe néanmoins une autre manière de le représenter, en mettant en évidence son contenu fréquentiel. Pour introduire cette nouvelle représentation, nous allons pour un temps revenir à un signal monochromatique, de la forme . On peut également écrire, en utilisant une formule d'Euler

Cette dernière formulation met en évidence le fait que x(t) peut s'écrire comme la somme de deux exponentielles complexes, associées aux pulsations et -. On représente ces deux composantes sur un axe gradué en pulsations, ou, mieux, en fréquences, par deux "flèches"⁽¹⁾ affectées de leurs poids respectifs (en l'occurrence, les deux composantes ont un poids égal à x₀/2) :

deux raies symétriques

Cette représentation est la représentation fréquentielle du signal, et la fonction X(f) correspondante, ici limitée à deux pics à ±f₀, est sa "transformée de Fourier". Le module de X(f), noté S_x(f)=|X(f)|, est le spectre du signal.
Lorsque l'on a un signal présentant deux fréquences, comme par exemple , on obtient facilement de même :

quatre raies

Un problème (qui n'en est bien sûr pas un...) semble se poser pour un signal de la forme z(t)=z₁cosw₁t+z₂sinw₂t. Revenons à la décomposition que nous avons déjà utilisée :

Cette fois-ci, il apparaît que les "poids" des impulsions de Dirac sont des nombres complexes : pour ±f₁ il s'agit de z₁/2, pour -f₂ de (z₂/2).e^+j.pi/2 et pour +f₂ de (z₂/2).e^-j.pi/2. Par conséquent, le spectre de z(t) est rigoureusement égal à celui de y(t), bien que ces deux signaux ne soient pas égaux. En effet, seules les phases de leurs transformées de Fourier diffèrent, et elles n'apparaissent pas dans le spectre.

Cette représentation est en fait celle d'une "impulsion de Dirac" : cf. 1.2.3.1.
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