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Spectre de signaux périodiques
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Représentation de Fourier des signaux dénergie infinie
Impulsion de Dirac
courantSpectre des signaux périodiques
Cas particulier : peigne de Dirac

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Soit x(t) un signal à temps continu, de période T. On admet que x(t) est "développable en série de Fourier" sous la forme :
développement en série de Fourier(1.22)
avec
échantillon(1.23)
Pour un signal x impair, son développement en série de Fourier se simplifie en
Pour x pair
Si x est pair, on peut de même écrire
Pour x impair
Dans les deux cas, le coefficient alpha1 est l'"amplitude du fondamental" et pour n>1 les coefficients alphan sont les amplitudes des "harmoniques". On peut alors définir le "taux d'harmoniques" tau par
Définition de tau
Calculons la transformée de Fourier de x :
Cest reparti pour les calculs...
En admettant la validité de la permutation des symboles de somme et d'intégration(1), on obtient :
On permute,...
Or la relation 1.20 donne ... on reformule,... donc :
X(nu) en fonction des échantillons(1.24)
Exemple : cas d'un signal carré.
On considère le signal T-périodique x(t) tel que :
Signal carré T-périodique
On a alors
Calcul de x_n...
En remarquant que seuls les termes d'ordre n impair sont non nuls, et en écrivant dans ce cas n=2k+1, on obtient
Expression de X(nu) pour un signal carré
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  1. Mathématiquement, cela nécessite la convergence uniforme de la série. Dans la "réalité", les échantillons xn étant nécessairement nuls à partir et en-dessous d'un certain rang, cette condition est toujours vérifiée.
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